2011
04.06

Esta semana el reto matemático de El País fue más sencillo de resolver (a lo mejor por eso esta vez lo resolví sin usar el ordenador :D).

El problema es el siguiente: se trata de obtener un cuadrado mágico de productos, es decir, un cuadrado de 3×3 números de manera que el producto de los números de cada fila, columa y diagonal den el mismo resultado. Todos los números son enteros positivos y no pueden repetirse. Se sabe que el número central es 15.

En mi caso lo que hice fue asignar a cada celda desconocida una letra:

 

$$a$$ $$b$$ $$c$$
$$d$$ $$15$$ $$f$$
$$g$$ $$h$$ $$i$$



De esta forma se obtienen igualdades como:
$$\begin{aligned}
a * b * c = a * d * g \\
a * b * c = a * 15 * i \\
a * b * c = d * 15 * f \\
a * d * g = g * h * i \\

\end{aligned}
$$
que como se ve permite algunas cancelaciones de términos, y tras operar y despejar un poco, se obtiene un cuadrado mágico como este (o algunas de sus rotaciones):

$$\frac{15^3}{b·c}$$ $$b$$ $$c$$
$$\frac{b·c^2}{15^2}$$ $$15$$ $$\frac{15^4}{b·c^2}$$
$$\frac{15^2}{c}$$ $$\frac{15^2}{b}$$ $$\frac{b·c}{15}$$


Ahora se ve que multiplicando los números de cualquier fila o columna el resultado es 15^3 = 3375. Éste es el producto que tienen que dar cualquiera de las filas o columnas. Además, dado que las celdas sólo pueden tener enteros positivos no repetidos el número de soluciones es finito (en realidad es único, eliminando las rotaciones). También vemos que tanto b como c tienen que ser divisores enteros de 15^2 o lo que es lo mismo, tanto b como c tienen que ser uno de los valores [1, 3, 5, 3 * 3, 3 * 5 (no puede ser; ya está en el centro), 3 * 3 * 5, …]. Es decir, todas las combinaciones de productos posibles de 3^x * 5^y (con x e y valiendo 0, 1, 2 ó 3). Son un total de 16 combinaciones. Suponiendo b = 1, el cuadrado que nos queda es:

$$\frac{15^3}{c}$$ $$1$$ $$c$$
$$\frac{c^2}{15^2}$$ $$15$$ $$\frac{15^4}{c^2}$$
$$\frac{15^2}{c}$$ $$15^2$$ $$\frac{c}{15}$$


La casilla inferior derecha nos indica que c tiene que ser un múltiplo de 15 (y no puede ser 15 porque ya está en el centro). Y la casilla inferior izquierda nos hace ver que c es divisor entero de 15^2, que es 3^2 * 5^2. Eso significa que c tiene que ser un producto combinación de 3 ó 9 por 5 ó 25 (sólo 3 combinaciones posibles, porque la combinación 3 * 5 es 15 y vimos que ya está descartado). Probamos con 9 * 5 = 45 y eureka! c es 45. Sustituimos su valor y este es el cuadrado mágico:

$$75$$ $$1$$ $$45$$
$$9$$ $$15$$ $$25$$
$$5$$ $$225$$ $$3$$

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