Esta semana el reto matemático de El País era más fácil de resolver que los anteriores (quizá por eso esta vez lo resolví sin usar el ordenador 😄).
El problema es el siguiente: obtener un cuadrado mágico de productos, es decir, un cuadrado de 3x3 celdas cuyo producto de números en cada fila, columna o diagonal dé la misma cantidad (desconocida). Todos los números son enteros positivos no repetidos. Se sabe que el número de la celda central es 15.
Mi enfoque fue asignar un nombre de variable a cada celda:
$$ \large{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & c \\\hline d & 15 & f \\\hline g & h & i \\\hline \end{array}} $$De esta forma obtuve ecuaciones como:
$$ \begin{align} a * b * c & = a * d * g \\ a * b * c & = a * 15 * i \\ a * b * c & = d * 15 * f \\ a * d * g & = g * h * i \\ ... & \end{align} $$lo que permite cancelar algunos términos y, tras varias operaciones, obtuve el siguiente cuadrado mágico (las rotaciones son equivalentes):
$$ \large{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \frac{15^3}{b·c} & b & c \\\hline \frac{b·c^2}{15^2} & 15 & \frac{15^4}{b·c^2} \\\hline \frac{15^2}{c} & \frac{15^2}{b} & \frac{b·c}{15} \\\hline \end{array}} $$Ahora vemos que el producto de cualquier fila, columna o diagonal da el mismo resultado (como se pedía), y que dicho resultado es $15^3 = 3375$. Ese era el producto desconocido.
Además, dado que las celdas solo pueden contener enteros positivos, el número de soluciones posibles es finito (de hecho, único si se excluyen las rotaciones). También podemos ver que tanto $b$ como $c$ deben ser factores de $15^2$, o dicho de otra forma, tanto $b$ como $c$ deben ser uno de entre $1, 3, 5, 3^2, 3 * 5$ (ya presente en el centro), $5^2, 3^2 * 5, ...$. Es decir, cualquier combinación posible del producto $3^x * 5^y$ (siendo tanto $x$ como $y$ uno de $0, 1, 2, 3$). Hay 16 combinaciones posibles. Empecemos suponiendo que $b = 1$; entonces el cuadrado resultante es:
$$ \large{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \frac{15^3}{c} & 1 & c \\\hline \frac{c^2}{15^2} & 15 & \frac{15^4}{c^2} \\\hline \frac{15^2}{c} & 15^2 & \frac{c}{15} \\\hline \end{array}} $$La celda inferior derecha revela que 15 debe ser un factor de $c$ (y $c$ no puede ser 15, porque el valor de la celda superior derecha sería igual al de la celda central). La celda inferior izquierda también nos dice que $c$ es un factor de $15^2$ (que es $3^2 * 5^2$). Esto significa que $c$ debe ser un producto de 3 o 9 por 5 o 25 (solo hay 3 combinaciones posibles, ya que $3 * 5 = 15$ ya ha sido descartado). Probé con $9 * 5 = 45$ y... ¡eureka! $c = 45$. Sustituí $c$ por su valor y este es el cuadrado mágico:
$$ \large{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 75 & 1 & 45 \\\hline 9 & 15 & 25 \\\hline 5 & 225 & 3 \\\hline \end{array}} $$